迈向同宿点附近 $C^r$-泛动力学的分类

我们在此提出了一个程序的第一个部分，旨在对 $C^r$ 拓扑（$r\geq 1$）下同宿点和异宿点附近的泛动力学进行分类。本文仅包含公告和少量证明概要；一系列后续论文将详细展示证明。非双曲动力学的两个典型例子是同宿切触和异维环。Palis 猜想它们实际上稠密地刻画了非双曲动力学。因此，理解这些分岔附近发生的情况至关重要。我们将 Newhouse、Palis 和 Viana 关于切触和环的经典结果进行了推广：当且仅当动力学不是体积双曲时，在同宿切触或异维环附近存在大量表现出无限多个汇或源的微分同胚。这特别证明了 Turaev 关于同宿切触的一个猜想。Bonatti、Diaz 和 Pujals 的一个重要结果指出，如果一个同宿类是 $C^1$-鲁棒地没有支配分裂，那么附近的微分同胚会 $C^1$-泛地表现出无限多个汇或源。我们表明，在进一步的假设下，即非支配性是通过所谓的“机制”获得的，这一结论在更高正则性下也成立。这包括了使用迄今已知的工具可以构建的所有鲁棒非支配同宿类的例子。实际上，我们得到了 Bochi 和 Bonatti 近期 $C^1$ 结果的 $C^r$ 等价物：我们精确描述了在同宿切触或同宿类附近可能出现的沿周期点的 Lyapunov 指数。Newhouse、Palis 和 Viana 的结果是在 $C^r$ 拓扑（$r\geq 2$）下证明的。我们的结果在 $C^{1+\alpha}$ 拓扑下也成立。