Takens最后问题与非平凡游荡域的存在性

在本文中，我们给出了 Takens 在 [Nonlinearity, 21 (2008), no.3, T33-T36] 中提出的与动力系统历史行为相关的开放问题的 $C^{r}$ $(2\leq r <\infty)$ 版本的解答。为得到该解答，我们展示了同宿相切附近非平凡游荡域的存在性，此存在性由 Colli-Vargas [Ergod. Th. & Dynam. Sys., 21 (2001), 1657-1681] 猜想。具体而言，证明了闭曲面上的 $C^{r}$ 微分同胚空间中任意 Newhouse 开集都包含于具有非平凡游荡域（其前向轨道具有历史行为）的微分同胚集合的闭包中。此外，该结果意味着在 $C^{r}$ 范畴内对 van Strien [Discrete Conti. Dynam. Sys., 27 (2010), no.2, 557-588] 关于 Hénon 族游荡域的开放问题之一给出了回答。