由具有 Siegel 盘的 Lavaurs 映射产生的游荡域

有理函数 Fatou 分支的分类随着 Sullivan 于 1985 年证明无游荡域定理而告终。2016 年，第一作者与末作者同 Buff、Dujardin 和 Raissy 的合作研究表明，在高维中确实存在游荡域。事实上，即便对于一类看似简单的映射——多项式斜积，也会产生游荡域。尽管该构造给出了一类无限维的例子，且已被 Hahn 和末作者推广到 $\mathbb C^4$ 的多项式自同构，但目前已知的游荡域本质上是唯一的。本文的目标是构造第二个例子，它源于类似的技术，但具有明显不同的动力学行为。我们构造的不是一个由具有吸引不动点的 Lavaurs 映射产生的游荡域，而是一个由具有 Siegel 型不动点的 Lavaurs 映射产生的域。与吸引不动点不同，Siegel 盘在扰动下并不鲁棒。我们证明了由收敛于 Siegel 型极限映射的映射序列给出的非自治动力系统存在所谓捕获域的充要条件。在我们当前的构造中保证该条件成立，需要重新考量原始游荡域的证明，因为需要对收敛到 Lavaurs 映射的速率给出更精确的估计。通过借鉴 Bedford、Smillie 和 Ueda 近期引入的思想，并证明抛物曲线的存在性及其定义域的可控性，我们证明了收敛速率是抛物的。