正压 Navier-Stokes 系统的统计解

我们在具有非齐次边界条件的正压 Navier--Stokes 系统弱解框架下引入统计解的新概念。统计解是在数据空间 $\mathcal{D}$ 上概率测度集 $\mathfrak{P}[\mathcal{D}]$ 上的马尔可夫算子族 $\{ M_t \}_{t \geq 0}$，其中 $\mathcal{D}$ 包含初始数据 $[\varrho_0, \mathbf{m}_0]$ 和边界数据 $\mathbf{d}_B$。(1) $\{ M_t \}_{t \geq 0}$ 具有几乎处处半群性质，对任意 $t \geq 0$、几乎处处 $s \geq 0$ 及任意 $\nu \in \mathfrak{P}[\mathcal{D}]$，有 $M_{t + s}(\nu) = M_t \circ M_s(\nu)$。(2) 当限制在确定性数据时，$\{ M_t \}_{t \geq 0}$ 是确定性的，具体地 $M_t(\delta_{[\varrho_0, \mathbf{m}_0, \mathbf{d}_B]}) = \delta_{[\varrho(t, \cdot), \mathbf{m}(t, \cdot), \mathbf{d}_B]},$ 其中 $[\varrho, \mathbf{m}]$ 是对应于数据 $[\varrho_0, \mathbf{m}_0, \mathbf{d}_B] \in \mathcal{D}$ 的 Navier--Stokes 系统的有限能量弱解。(3) $M_t: \mathfrak{P}[\mathcal{D}] \to \mathfrak{P}[\mathcal{D}]$ 在由产生正则解的数据所支撑的测度上，于适当的 Bregman--Wasserstein 度量下连续。