花图上的驻波

花图由一条半直线和$N$个对称环在单一顶点处连接而成，其中$N \geq 2$（若$N = 1$则称为蝌蚪图）。我们在三次非线性薛定谔方程的框架下考虑花图上的正单瓣态。本文的主要新颖之处在于严格应用二阶微分方程的周期函数来理解度量图上驻波的对称性与分岔。我们证明正单瓣对称态（在质量较小时为能量的基态）在质量较大时恰好经历一次分岔，此时出现$(N-1)$支其他正单瓣态：每支具有$K$个较大分量和$(N-K)$个较小分量，其中$1 \leq K \leq N-1$。我们证明仅有$K = 1$的分支在质量较大时代表能量的局部极小元，然而在质量较大时能量的基态无法达到。由周期函数得到的解析结果以数值方式进行了说明。