纤维函子栈与 Tannaka 重构

给定一个拟紧的群胚纤维化范畴 $\mathcal{X}$ 及其局部自由层范畴 $\text{Vect}(\mathcal{X})$ 的一个幺半子范畴 $\mathcal{C}$，我们将引入以 $\mathcal{C}$ 为源的纤维函子栈 $\text{Fib}_{\mathcal{X},\mathcal{C}}$，它配备一个映射 $\mathcal{P}_{\mathcal{C}}\colon\mathcal{X}\to\text{Fib}_{\mathcal{X},\mathcal{C}}$ 以及一个函子 $\mathcal{G}\colon\mathcal{C}\to\text{Vect}(\text{Fib}_{\mathcal{X},\mathcal{C}})$。若 $\mathcal{C}$ 生成 $\text{QCoh}(\mathcal{X})$ 且 $\mathcal{X}$ 是一个具有拟仿射对角线的 fpqc 栈，我们证明 $\mathcal{P}_{\mathcal{C}}\colon\mathcal{X}\to\text{Fib}_{\mathcal{X},\mathcal{C}}$ 是一个等价，正如当 $\mathcal{X}$ 是域上的仿射 gerbe 时 Tannaka 重构所发生的情况。一般地，在 $\mathcal{C}$ 的温和假设下（例如 $\mathcal{C}=\text{Vect}(\mathcal{X})$），我们证明 $\text{Fib}_{\mathcal{X},\mathcal{C}}$ 是一个具有仿射对角线的拟紧 fpqc 栈，并且像 $\mathcal{G}(\mathcal{C})$ 生成 $\text{QCoh}(\text{Fib}_{\mathcal{X},\mathcal{C}})$。