通过调和延拓实现体-面 CutFEM 的稳定化与算子预处理

我们提出了一种用于 $\mathbb{R}^2$ 中光滑闭曲线 $\Gamma$ 上的 Laplace--Beltrami 方程的切割有限元方法 (CutFEM)，该方程与 $\Omega$ 中的调和体问题相耦合，且\emph{无需显式稳定化}：无需幽灵罚、法向梯度罚或单元聚合。迹有限元空间在切割单元上经典的病态条件源于在 $\Gamma$ 上支撑趋于零的基函数；我们的观察是，将曲面离散化与离散体调和延拓相耦合（通过背景笛卡尔网格上的格子 Green 函数 (LGF) 实现），可严格约束导致此病态条件的自由度。通过全 CutFEM 刚度的合同变换得到的简化算子，继承了变分形式的对称性与半正定性，且其条件数关于最小切割单元比例具有一致有界性。直接重构具有标准的 $O(h^{-2})$ 网格条件数；单层密度公式作为算子预处理子产生 $O(1)$ 的条件数，适用于迭代求解器；双层密度公式保持切割无关性并具有 $O(h^{-2})$ 的缩放。我们在标准正则性假设下证明了在 $H^1(\Gamma)$/$L^2(\Gamma)$ 中具有最优的 $O(h)$/$O(h^2)$ 误差估计，严格建立了切割无关的条件数，并在数值实验中展示了最优收敛速率及对小切割的鲁棒性。