任意余维嵌入流形上偏微分方程的切割有限元方法

我们为嵌入在 $\mathbb{R}^d$ 中任意余维流形上的 Laplace-Beltrami 算子的稳定化切割有限元方法分析建立了一个理论框架。该方法基于在嵌入空间的背景网格上使用连续分片多项式进行逼近，并结合一个稳定化项以确保所得问题是稳定的。离散流形使用一个三角剖分表示，该剖分与背景网格不匹配且无需形状正则，这包括了余维一流形的水平集描述和独立三角剖分流形的非匹配嵌入等特殊情况。我们识别了稳定化项的抽象关键假设，这些假设使我们能够证明刚度矩阵条件数的界和最优阶先验估计。我们针对稳定化项的三种不同实现方式验证了这些关键假设，其中包括一种基于在背景网格上惩罚曲面法向梯度的新型稳定化方法。最后，我们给出了数值结果，展示了我们对嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中的曲线和曲面的理论结果。