SoftFEM：重新审视二阶椭圆算子的谱有限元逼近

我们提出、进行数学分析并数值研究了一种用于二阶椭圆算子谱的有限元逼近新方法。主要思想是通过从标准刚度双线性型中减去网格界面上梯度跳跃的最小二乘惩罚来降低问题的刚度。该惩罚双线性型类似于在各种语境中用于稳定有限元逼近的已知技术。惩罚项旨在阻尼谱中的高频，因此此处以负系数加权。所得逼近技术称为 softFEM，因为它降低了问题的刚度。相较于标准 Galerkin FEM，softFEM 的两个关键优势是改善离散谱上部分特征值的逼近，并降低刚度矩阵的条件数。我们导出了加权稳定双线性型的软度参数的尖锐上界，以维持 softFEM 双线性型的强制性。接着我们证明 softFEM 对特征值和特征向量给出了与标准 Galerkin FEM 逼近相同的最优收敛速率。我们随后比较了使用 Galerkin FEM 和 softFEM 获得的离散特征值。最后，对一维 Laplace 特征值问题的线性 softFEM 的详细分析给出了软度参数的合理选择。在此选择下，刚度降低比随多项式次数线性缩放。各种数值实验说明了使用 softFEM 优于 Galerkin FEM 的益处。