中等软势 Boltzmann 方程真空的稳定性

我们考虑空间非均匀非截断 Boltzmann 方程，具有中等软势及任意奇性参数 $s\in (0,1)$，即在全空间 $\mathbb{R}^3$ 上 $\gamma+2s\in(0,2]$。我们证明，若初始数据 $f_{\text{in}}$ 在适当的加权范数下接近真空解 $f_{\text{vac}}=0$，则解 $f$ 全局正则并保持，且逼近线性传输方程的解。我们的证明使用 $L^2$ 估计，并证明了涉及无角截断 Boltzmann 核的众多新估计。此外，我们依赖包括 Gressman--Strain、Henderson--Snelson--Tarfulea 和 Silverstre 在内的多项先前工作。从长时间行为角度看，我们将 Boltzmann 碰撞算子作扰动处理。因此该问题的一个重要挑战是利用传输算子的色散性质证明碰撞算子的可积时间衰减。这需要极为细致的处理，为成功克服此困难，我们借鉴了 Luk 的工作 [Stability of vacuum for the Landau equation with moderately soft potentials, Annals of PDE (2019) 5:11] 以及 Smulevici 的工作 [Small data solutions of the Vlasov-Poisson system and the vector field method, Ann. PDE, 2(2):Art. 11, 55, 2016]。特别地，为获得至少可积的时间衰减，我们需要整合来自时空权重的衰减与来自交换向量场的衰减。