弱非均匀环境下具有热力的颗粒介质玻尔兹曼方程

在本文中，我们考虑了不同情况下的空间非均匀扩散驱动非弹性玻尔兹曼方程：恢复系数可以是常数，也可以依赖于碰撞速度（这是更具物理相关性的情况），特别是包括粘弹性硬球的情况。在弱热化机制下，即当扩散参数足够小时，我们证明了在全局解的存在性，涵盖了接近平衡态机制以及恢复系数为常数时的弱非均匀机制。这是非弹性“碰撞机制”（即排除 \cite{AR} 中在接近真空机制下证明的存在性定理）中全局解存在的第一个定理。我们还研究了这些解的长时间行为，并证明了以指数速率收敛到平衡态。证明的基础是对线性化方程的研究。我们在此获得了一个新结果：证明了在加权（拉伸指数和多项式）Sobolev 空间中存在谱隙，以及由线性化算子生成的半群的指数稳定性结果。为此，我们围绕空间非均匀弹性硬球方程发展了微扰论证，并利用了近期的论文 \cite{GMM} 中对该方程的研究成果。随后，我们将线性化理论与非线性理论联系起来，借助我们建立的关于碰撞算子的新双线性估计来处理完整的非线性问题。就常数系数情况而言，本文大幅改进了 \cite{MM2} 在空间均匀框架下获得的类似结果。关于非常数系数的情况，此类结果是新的，我们利用了 \cite{AL3} 中关于线性化方程稳态的结果。