等价关系的积的稳定性

一个遍历的 p.m.p. 等价关系 $\mathcal{R}$ 被称为稳定的，如果 $\mathcal{R} \cong \mathcal{R} \times \mathcal{R}_0$，其中 $\mathcal{R}_0$ 是唯一的超有限遍历型 $\mathrm{II}_1$ 等价关系。我们证明，两个遍历 p.m.p. 等价关系的直积 $\mathcal{R} \times \mathcal{S}$ 是稳定的，当且仅当两个分量 $\mathcal{R}$ 或 $\mathcal{S}$ 之一稳定。这一结果由稳定等价关系的一个新的局部刻画推导而来。关于 McDuff $\mathrm{II}_1$ 因子的类似问题也被讨论，并给出了一些部分结果。