强遍历等价关系：谱隙与 III 型不变量

我们得到了标准测度空间上强遍历等价关系的谱隙刻画。我们利用我们的谱隙准则证明了一大类由取值于局部紧阿贝尔群的可测 $1$-闭上链产生的斜积等价关系是强遍历的。类比 Connes 关于完全因子的工作，我们为 ${\rm III}$ 型强遍历等价关系引入了 Sd 和 $\tau$ 不变量。作为我们主要结果的推论，我们证明对于任意 ${\rm III_1}$ 型遍历等价关系 $\mathcal R$，Maharam 扩张 $\mathord{\text {c}}(\mathcal R)$ 是强遍历的当且仅当 $\mathcal R$ 是强遍历的且不变量 $\tau(\mathcal R)$ 是 $\mathbf R$ 上的通常拓扑。我们还得到了几乎周期强遍历等价关系的结构定理，类似于 Connes 关于几乎周期完全因子的结构定理。最后，我们证明对于任意双精确群（例如双曲群）的强遍历自由作用，轨道等价关系与相关的群测度空间 von Neumann 因子的 Sd 和 $\tau$ 不变量相一致。