一维随机 Landau-Lifschitz-Gilbert 方程的遍历不变测度研究

我们在有界一维区间 $D$ 上针对随机 Landau-Lifschitz-Gilbert 方程，在 $H^1(D,\mathbb{R}^3)\cap L^2(D,\mathbb{S}^2)$ 上建立了遍历不变测度的存在性。该结论通过运用经典的 Krylov-Bogoliubov 定理得到。与其他方程不同，验证 Krylov-Bogoliubov 定理的假设并非标准流程。我们采用粗糙路径理论来证明该方程相关的半群在 $H^1(D,\mathbb{R}^3)\cap L^2(D,\mathbb{S}^2)$ 中具有 Feller 性质。通过经典的 Stratonovich 微积分似乎无法得到相同结论。另一方面，我们运用经典 Stratonovich 微积分来证明紧性假设。Krein-Milman 定理蕴含了遍历不变测度的存在性。在空间常数噪声情形下，我们证明存在唯一的 Gibbs 不变测度，并确立了唯一平稳解的定性行为。在无各向异性能量且为空间常数噪声时，我们能够给出路径意义下的长时间行为结果：特别地，每个解都与一个球面布朗运动同步，并且在长时间下是回归的。