直积中的等周性、稳定性与无冗余性

图 $G_1,\ldots,G_n$ 的直积是以 $V(G_1)\times\cdots\times V(G_n)$ 为顶点集的图，其中两个顶点 $(g_1,\ldots,g_n)$ 与 $(g_1',\ldots,g_n')$ 相邻当且仅当对所有 $i$ 均有 $g_i$ 在 $G_i$ 中与 $g_i'$ 相邻。基于 Brakensiek 的近期工作，我们证明了完全多部图直积的一个最优顶点等周不等式。应用该不等式，我们导出了平衡完全多部图直积中独立集的一个稳定性结果，表明每个大独立集必接近于由将某一坐标设为常数所确定的极大独立集。借助这些等周与稳定性结果，我们证明了除至多 $37$ 种情况外，平衡完全多部图直积的上无冗余数等于其独立数。这证明了 Burcroff 提出的一个猜想的大部分，该猜想源于对第二作者与 Iyer 猜想的加强。我们还提出了对 Burcroff 猜想的进一步加强。