图 product 与循环图的稳定性

若图 $\Gamma$ 满足 $\mathrm{Aut}(\Gamma\times K_2)\cong\mathrm{Aut}(\Gamma)\times \mathbb{Z}_{2}$，则称其为稳定图；否则称为不稳定图。若一个不稳定图是连通的、非双部图，且其任意两个不同顶点的邻居集合不同，则称其为非平凡不稳定图。我们给出确保各种图 product（包括直积、直积捆、笛卡尔积、强积、半强积和 lexicographic 积）不稳定的条件。针对直积捆不稳定性的条件，提出一种新的充分条件，确保循环图不稳定，并对文献中现有的不稳定性条件进行细化。基于这些结果，我们将不稳定循环图划分为两种 distinct 类型，并进一步提出一种分类框架。