Cayley 图与 Schur 环的稳定性

若对于直积 $\Gamma \times K_2$，$Aut(\Gamma \times K_2)$ 不同构于 $Aut(\Gamma) \times \mathbb{Z}_2$，则称图 $\Gamma$ 是不稳定的。本文证明了：连通且非二部的 Cayley 图 $Cay(H,S)$ 不稳定当且仅当集合 $S \times \{1\}$ 属于群 $H \times \mathbb{Z}_2$ 上某个具有特定性质的 Schur 环。当 $H$ 是奇阶阿贝尔群或两倍奇阶循环群时，刻画了具有这些性质的 Schur 环。作为应用，对 Witte Morris 的结果（Electron.~J.~Combin, 2021）即奇阶阿贝尔群上的每个连通不稳定 Cayley 图都有孪生图，给出了一个简短证明。作为另一应用，给出了阶为 $2p^e$ 的连通非二部循环图不稳定的充要条件，其中 $p$ 为奇素数且 $e \ge 1$。