图积的等周函数

设 $\Gamma$ 为一个有限图，对每个顶点 $i$ 令 $G_i$ 为一个有限生成群。令 $G$ 为这些 $G_i$ 的图积。即，$G$ 是由 $G_i$ 的自由积模掉包含所有的 $[g,h]$（其中 $g\in G_i$、$h\in G_j$ 且 $i$ 与 $j$ 之间有边相连）的最小正规子群所得到的群。我们证明，若每个顶点群都有 $k\ge 2$ 次（或指数型）等周函数，则 $G$ 也具有相应次（或指数型）等周函数。