保面积流无限扩张的遍历性质

我们考虑$S\times \mathbb{R}$上的保体积流$(\Phi^f_t)_{t\in\mathbb{R}}$，其中$S$是亏格$g\geq 2$的闭连通曲面，$(\Phi^f_t)_{t\in\mathbb{R}}$具有形式$\Phi^f_t(x,y)=(\phi_tx,y+\int_0^t f(\phi_sx)ds)$，这里$(\phi_t)_{t\in\mathbb{R}}$是$S$上双曲周期型的局部哈密顿流，$f$是$S$上的光滑实值函数。我们研究这些无限保测度流的遍历性质，并证明如果$f$属于$\mathscr{C}^{2+\epsilon}(S)$中一个有限余维空间，则以下动力学二分法成立：如果$(\phi_t)_{t\in\mathbb{R}}$存在一个不动点且$f$在该点非零，则$(\Phi^f_t)_{t\in\mathbb{R}}$是遍历的；否则，如果$f$在所有不动点上为零，则它是可约的，即同构于平凡扩张$(\Phi^0_t)_{t\in\mathbb{R}}$。该结果的证明利用了将$(\Phi^f_t)_{t\in\mathbb{R}}$约化为周期型区间交换变换上的斜积自同构。如果$(\phi_t)_{t\in\mathbb{R}}$存在一个不动点且$f$在该点非零，该约化产生具有对称对数奇点的上循环，我们证明了其遍历性。