论连续时间马尔可夫过程的$f$-范数遍历性

考虑在波兰空间${\sf X}$上演化的马尔可夫过程$\{\Phi(t) : t\geq 0\}$。获得了$f$-范数遍历定理的一个版本：假设该过程是可$\psi$-不可约且非周期的。对于给定的函数$f\colon{\sf X}:\to[1,\infty)$，在过程的适当条件下，以下等价：\begin{enumerate} \item[(i)] 存在唯一的不变概率测度$\pi$满足$\int f\,d\pi<\infty$。 \item[(ii)] 存在满足$\psi(C)>0$的闭集$C$，其是“自$f$-正则的”。 \item[(iii)] 存在函数$V\colon{\sf X} \to (0,\infty]$，其在${\sf X}$中至少一点有限，且满足以下Lyapunov漂移条件，$${\cal D} V\leq - f+b\field{I}_C\, , \eqno{\hbox{(V3)}}$$其中$C$是闭小集，${\cal D}$是过程的扩展生成元。 \end{enumerate} 对于离散时间链，该结果是众所周知的。此外，在该情形下，还获得了$\bfPhi$在适当范数下的遍历性：对于每个满足$V(x)<\infty$的初始条件$x\in{\sf X}$，以及任意满足$|g|$被$f$界定的函数$g\colon{\sf X}\to\Re$，$$\lim_{t\to\infty} {\sf E}_x[g(\Phi(t))] = \int g\,d\pi.$$ 在关于过程$\{\Phi(t)\}$或函数$g$的适当假设下，探讨了在连续时间中建立相应结果的合适版本的可能方法。