Burgers-Hilbert 方程分段光滑解在大范围解类中的稳定性与唯一性

在本文中，我们证明了 Bressan 与 Zhang [Commun. Math. Sci., 15(1):165--184, 2017] 中构造的 Burgers--Hilbert 方程分段光滑解的唯一性与稳定性。Burgers--Hilbert 方程为 $u_t+(\frac{u^2}{2})_x=\mathbf{H}[u]$，其中 $\mathbf{H}$ 为 Hilbert 变换，是一个非局部算子。我们证明了相较于 Bressan 与 Zhang 中的唯一性结果，解在更大一类函数中具有稳定性与唯一性。我们所考虑的解是可测且有界的，满足至少一个熵条件，并验证一个强迹条件。我们没有小性假设。我们使用了相对熵方法以及位移理论（见 Vasseur [Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, 4:323 -- 376, 2008]）。