奇异随机 Burgers 方程的高斯结构

我们考虑受随机强迫的 Burgers 方程，重点研究空间粗糙的驱动噪声。我们证明，在给定无爆裂的条件下，过程在固定时间 $t$ 处的律，关于通过从方程中去掉非线性项而得到的随机热方程绝对连续。这在无限维设定下建立了一种椭圆性形式。结果源于对 Girsanov 定理的重新表述，以处理空间正则性较低的解，同时仅证明在固定时间而非路径空间上的绝对连续性。结果通过将解分解为辅助过程之和来证明，这些辅助过程随后被证明在律上绝对连续于一个随机热方程。当我们转向与 KPZ 方程相关的随机强迫 Burgers 方程时，该分解中的层数发散至无穷，我们推测这刚好超出我们结果（以及当然当前证明）的适用范围。该分析为我们逼近 KPZ 正则性时解的结构提供了见解。由于本文大部分内容超出了经典解的范围，我们采用了来自奇异 SPDE 的多种技术。