面向输运扩散方程的指数时间差分 Runge-Kutta 不连续 Galerkin 方法的数值稳定性与时间步长约束
数值分析
2025-03-06 v1 数值分析
摘要
本文我们研究了使用指数时间差分（ETD）Runge-Kutta（RK）方法处理时间、不连续 Galerkin（DG）方法处理空间的输运扩散方程的数值稳定性与时间步长约束。我们证明了所得的全离散格式在时间步长上限为常数的条件下是稳定的。更具体地，当使用中心流量处理输运项时，方案在时间步长约束 tau <= tau_0 * d / a^2 下稳定；而当使用上风流量时，方案在 tau <= max{tau_0 * d / a^2, c_0 * h / a} 下稳定。这里的 tau 为时间步长，h 为空间网格大小，a 和 d 为输运和扩散系数的常数。常数 c_0 是针对纯输运方程的显式 RK 方法的 CFL 常数，tau_0 取决于 ETD-RK 方法的阶数。这些稳定条件与隐式-显式 RKDG 方法的稳定条件一致。对于最低阶情况，时间步长约束得到严格证明；对于高阶情况，通过傅里叶分析进行验证。值得注意的是，全离散 ETD-RKDG 方案中的常数 tau_0 似乎由其半离散（连续空间、离散时间）ETD-RK 方案的稳定条件决定，且对多项式次数和具体选择的 DG 方法不敏感。数值实例，包括一维和二维中具有非线性对流的问题，均已提供以验证我们的发现。
引用
@article{arxiv.2503.03019,
title = {Stability and Time-Step Constraints of Exponential Time Differencing Runge--Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Advection-Diffusion Equations},
author = {Ziyao Xu and Zheng Sun and Yong-Tao Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.03019},
year = {2025}
}