开尔文波的稳定性与不稳定性

开尔文的 $m$-波是二维欧拉方程的均匀旋转斑块解，对 $m\geq 2$ 具有 $m$ 重旋转对称性。对于充分接近圆盘的开尔文波，我们证明在涡量的 $L^1$ 范数下，对 $m$ 重对称扰动有直至任意长时间的非线性稳定性结果。为获得该结果，我们首先证明开尔文波是某类容许斑块中能量泛函的严格局部极大元，此结论曾由 Wan 于 1986 年提出。这给出了带演化支撑条件的轨道稳定性结果，但利用追踪扰动粒子轨迹的拉格朗日自举论证，我们得以去掉该演化条件。基于此无条件稳定性结果，我们确立在开尔文波附近发生长时间丝化或长臂形成，这已在各类数值模拟中被观测到。此外，我们在同一变分框架下讨论了环形斑块的稳定性。