哈密顿偏微分方程中周期波的稳定性

具有哈密顿结构的偏微分方程，如 Korteweg--de Vries 方程及许多其他经典模型，已知存在丰富的周期行波族。然而，针对这些波的稳定性理论尚处于起步阶段。该问题已通过多种手段加以探讨。当然，总是可以从谱观点出发处理稳定性问题。然而，当我们所能期望的最佳谱稳定性仅为中性稳定性时，其与非线性稳定性（事实上是轨道稳定性，因为我们处理的是空间不变问题）之间的联系远非显而易见。确实，由于哈密顿结构，线性化方程的谱无法与虚轴分离，即使我们能够处理因空间不变性而始终存在的零点。其他一些方法则关键性地利用了底层结构。变分法显然是这种情况，它基本上将哈密顿量（或更确切地说，与哈密顿量及其他守恒量相关的约束泛函）用作 Lyapunov 函数。当该方法有效时，其威力巨大，因为它提供了通往轨道稳定性的直接路径。另一种方法是调制理论方法，遵循 Whitham 近五十年前提出的思想。本文的主要目的是指出一些针对类 KdV 方程和系统的结果，以建立谱方法、变分方法和调制方法这三种途径之间的联系。