黎曼 zeta 函数的螺线——曲率、稠密性与普适性

本文讨论了 Voronin 黎曼 zeta 函数 $\zeta$ 普适性定理的应用。除其他结果外，我们证明对于任意平面光滑曲线，在由实数 $t$ 对应的取值 $\zeta(\sigma+it)$ 所生成的曲线中，当固定 $\sigma\in(1/2,1)$ 时，均以微小误差出现。在此意义上，zeta 函数在任一此类竖直线上的取值构成了平面曲线的图集。在同一框架下，我们研究了当 $\sigma>1/2$ 时由 $\zeta(\sigma+it)$ 生成曲线的曲率，并表明其与 $\zeta'(\sigma+it)$ 的零点存在关联。此外，我们阐明了 zeta 函数实部与虚部在何种条件下联合普适。