Bessel--Riesz 算子的谱渐近公式

设 $R_{\lambda,j}$ 为第 $j$ 个 Bessel--Riesz 变换,其中 $n\geq 1$, $\lambda>0$,且 $j=1,\ldots,n+1$。本文建立了关于 $[M_f,R_{\lambda,j}]$ 的 Weyl 类渐近公式,即该算子与乘法算子 $M_f$ 的算子子块的渐近行为。我们通过构建初步结果,表明 $[M_f,R_{\lambda,j}]$ 的端点弱谱范数可通过符号 $f$ 的齐次 Sobolev 范数 $\dot{W}^{1,n+1}(\mathbb{R}_+^{n+1})$ 来刻画。具体而言,渐近系数等价于 $\|f\|_{\dot{W}^{1,n+1}(\mathbb{R}_+^{n+1})}$。我们的主要策略是将 Bessel--Riesz 子块关联到经典 Riesz 子块,并通过 Schur 乘子来实现,随后建立 Schur 乘子的有界性。