共形尖点流形上磁 Laplacian 的谱分析

我们考虑一个开流形，它是带边紧流形的内部。在规范不变性假设下，我们将具有紧支集的磁场分类为捕获型与非捕获型。我们研究了一类黎曼度量（包括有限体积完备双曲度量）下相关磁 Laplacian 的谱性质。当 $B$ 为非捕获型时，磁 Laplacian 具有非空本质谱。利用 Mourre 理论，我们证明了奇异连续谱的缺失以及点谱的局部有限性。当 $B$ 为捕获型时，谱是离散的并服从 Weyl 律。具有紧支集的捕获型磁场的存在性依赖于上同调条件，表明了一种新的且非常强的长程效应。在非规范不变情形下，我们展示了一个强烈的 Aharonov-Bohm 效应。在具有至少两个尖点的双曲曲面上，我们证明了对于每个具有紧支集的磁场，其所关联的磁 Laplacian 对某些向量势的选择具有纯离散谱，而其他选择导致极限吸收原理的情形。我们还研究了度量的扰动。我们证明了在 Mourre 理论中无需要求扰动的导数的衰减。这一非常奇异的扰动随后被归结于势的扰动。