狄利克雷级数与zeta积分的特殊值

对于 $p$ 个变量的多项式 $f$ 和 $g$，我们将通过解析延拓狄利克雷级数 $$\zeta(s;f,g)=\sum_{k_1=0}^\infty ... \sum_{k_p=0}^\infty g(k_1,...,k_p)f(k_1,...,k_p)^{-s}\ \,(\re(s)\gg0),$$ 在非正整数 $s=-N$ 处得到的特殊值，与zeta积分 $$Z(s;f,g)=\int_{x\in[0,\infty)^p} g(x)f(x)^{-s}\,dx \, \ (\re(s)\gg0)$$ 的特殊值联系起来。我们证明了 $\zeta(-N;f,g)$ 与 $Z(-N;f_a,g_a)$ 之间的一个简单关系，其中对于 $a\in\C ^p$，$f_a(x)$ 是平移后的多项式 $f_a(x)=f(a+x)$。通过直接计算，我们证明了zeta积分在 $s=0$ 处的乘积法则，$\mathrm{degree}(fh)\cdot Z(0;fh,g)=\mathrm{degree}(f)\cdot Z(0;f,g)+\mathrm{degree}(h)\cdot Z(0;h,g),$ 并推导出狄利克雷级数在 $s=0$ 处的相应法则，$\mathrm{degree}(fh)\cdot\zeta(0;fh,g)=\mathrm{degree}(f) \cdot\zeta(0;f,g)+\mathrm{degree}(h)\cdot\zeta(0;h,g).$ 这最后一个公式推广了Shintani和Chen-Eie的工作。