实二次域部分 zeta 函数在 s=0 处特殊值的多项式行为

我们计算了一族实二次域 $K_n$ 及射线类理想 $\fb_n$ 的部分 zeta 函数在 $s=0$ 处的特殊值，其中 $\fb_n^{-1} = [1,\delta(n)]$，且 $\delta(n)$ 的连分数展开是纯周期的，其各项均为次数有界 $d$ 的关于 $n$ 的多项式。在附加假设下，我们证明了部分 zeta 函数在 $s=0$ 处的特殊值表现为拟多项式。我们将此结果应用于证明对于 Dirichlet 特征 $\chi$，Hecke $L$-函数在 $s=0$ 处的特殊值也表现为拟多项式。我们显式计算了这些拟多项式的系数。文中给出了两个满足条件的例子，并展示了这些族的部分 zeta 函数在 $s=0$ 处的特殊值。