实二次域 Hecke L-函数在 s=0 处的行为

对于一族实二次域 $\{K_n=\FQ(\sqrt{f(n)})\}_{n\in \FN}$、模 $q$ 的 Dirichlet 特征 $\chi$ 以及指定的理想 $\{\fb_n\subset K_n\}$，我们研究了部分 Hecke L-函数 $L_{K_n}(s,\chi_n:=\chi\circ N_{K_n},\fb_n)$ 在 $s=0$ 处特殊值的线性行为。我们证明，若 $\fb_n$ 满足关于其连分数的特定条件，则对于 $n=qk+r$，$L_{K_n}(0,\chi_n,\fb_n)$ 可写为 $$\frac{1}{12q^2}(A_{\chi}(r)+kB_{\chi}(r)),$$ 其中 $A_{\chi}(r),B_{\chi}(r)\in \FZ[\chi(1),\chi(2),..., \chi(q)]$。此外，我们利用 Bernoulli 多项式的值精确写出了 $A_{\chi}(r)$ 和 $B_{\chi}(r)$。我们描述了如何利用这种线性性质解决某些族的类数为一问题，并在某些情况下恢复了相关证明。最后，我们列出了一些具有该线性性质的实二次域族。