偶特征下L-函数的平均值

令 $k = \mathbb{F}_{q}(T)$ 为有限域 $\mathbb{F}_{q}$ 上的有理函数域，其中 $q$ 是 $2$ 的幂。本文解决了在基本判别式上平均二次 $L$-函数 $L(s, \chi_{u})$ 的问题。$k$ 的任意可分二次扩张 $K$ 形如 $K = k(x_{u})$，其中 $x_{u}$ 是 $X^2+X+u=0$ 对于某个 $u\in k$ 的零点。我们刻画了有理函数 $u\in k$ 的族 $\mathcal I$（相应地，$\mathcal F$、$\mathcal F'$），使得 $k$ 的任意可分二次扩张 $K$ 中，若 $k$ 的无穷素点 $\infty = (1/T)$ 分歧（相应地，分裂、惯性），则可写为 $K = k(x_{u})$，且存在唯一的 $u\in\mathcal I$（相应地，$u\in\mathcal F$，$u\in\mathcal F'$）。对于几乎所有满足 ${\rm Re}(s)\ge \frac{1}2$ 的 $s\in\mathbb C$，我们得到了在给定亏格的、带有 $u\in \mathcal I$ 的所有 $k(x_{u})$、带有 $u\in \mathcal F$ 的所有 $k(x_{u})$ 或带有 $u\in \mathcal F'$ 的所有 $k(x_{u})$ 上 $L(s,\chi_{u})$ 求和的渐近公式。作为应用，我们得到了 $L$-函数在 $s=\frac{1}2$ 和 $s=1$ 处的渐近均值公式，以及类数 $h_{u}$ 或类数乘以调节子 $h_{u} R_{u}$ 的渐近均值公式。