$L^1$ 的一些自然子空间与商空间

我们证明空间 $\text{Lip}_0(\mathbb R^n)$ 是 $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ 的对偶空间，其中 $N$ 是由散度消失的向量场构成的 $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})$ 的子空间。我们证明尽管商空间 $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ 是弱序列完备的，但子空间 $N$ 并未被妥善放置——换言之，其单位球关于局部测度收敛拓扑 $\tau_m$ 不是闭的。我们证明若 $\Omega$ 是 $\mathbb {R}^n$ 中的有界开星形子集且 $X$ 是由连续函数构成的 $L^1(\Omega)$ 的闭子空间，则 $X$ 的单位球关于 $\Omega$ 上的紧开拓扑是紧的。特别地，由此推出此类空间 $X$ 当具有 Grothendieck 逼近性质时，具有无条件有限维分解，并且同构于 $l^1$ 的弱*-闭子空间。文中给出了大量适用此类结果的例子。