$L(X, Y)$ 在 $Lip_0(X, Y)$ 中的位置

我们证明，当 $Y$ 为对偶空间时，$L(X,Y)$ 在 $Lip_0(X, Y)$ 中是补空间（通过范数为一的投影实现）。其次，我们引入向量值利普希茨自由空间 $F_Y(X)$、线性收缩 $\beta_X^Y: F_Y(X) \to Y$，并证明当 $Y$ 为内射空间时，商空间 ${Lip_{0}(X, Y)}/{L(X, Y)}$ 等距同构于 $L(\ker(\beta_X^Y), Y)$。我们还考虑了 $Lip_0(X, Y)$ 与 $F_Y(X)$ 之间的 $Y$ 值对偶配对，并获得了利普希茨映射为线性的充要条件。作为应用，我们将 $\ker(\beta_{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}})$ 描述为商空间 $L^{\infty}(\mathbb{R})/\tilde{\mathbb{R}}$ 的预对偶空间，其中 $\tilde{\mathbb{R}}$ 表示 $\mathbb{R}$ 上所有常值映射的集合。