半局部Popov方程的一些精确解

我们研究$S^2$上半局部Popov涡旋方程。虽然它们不可积，但我们构造了两个精确解族，用$S^2$上的有理函数表示。一个族是Manton得到的Popov方程的Liouville型解的平凡嵌入，其中涡旋数为偶数。另一个解族通过场重定义构造，将半局部Popov方程与原始Popov方程联系起来，但半径比为$\sqrt{3/2}$，这是不可积的。这些解的涡旋数为$N=3n-2$，其中$n$为正整数，因此$N=1$解属于该族。特别地，我们证明了具有反射对称性的$N=1$解是著名的$CP^1$团块构型，单位大小，标量位于半径为$\sqrt{3/2}$的$S^3$上。它产生了$S^2$上具有单位磁荷的狄拉克磁单极子的均匀磁场。