带一般加权 $L^p$ 空间中不可遍历 BSDE 的可解性

本文致力于求解带有一般随机终止时间 $\tau$（取值为 $[0,+\infty]$）的多维反向随机微分方程（BSDE）。该 BSDE 的生成函数 $g$ 对状态变量 $y$ 满足随机单调性条件，对状态变量 $z$ 满足随机 Lipschitz 条件，且系数 $\mu_\cdot\in\R$ 和 $\nu_\cdot\in\R_+$ 可能是不可遍历的，且满足 $\int_0^\tau (|\mu_t|+\nu^2_t) {\rm d}t<+\infty$，并且对 $y$ 的增长条件极为宽泛，易于验证且弱于现有条件。给定 $p>1$ 为常数，且 $\rho_\cdot\geq \mu_\cdot+\frac{\theta}{2[1\wedge(p-1)]}\nu_\cdot^2$ 为给定实值过程，其中 $\theta>1$ 为常数，满足 $\int_0^\tau |\rho_t|{\rm d}t<+\infty$。在带权重因子 $e^{\int_0^t \rho_r{\rm d}r}$ 的一般加权 $L^p$ 空间中，我们建立了关于此类 BSDE 适应解的存在唯一性结果，当终端值满足相关加权可积性条件时成立，拓宽了权重因子 $\rho_\cdot$ 的范围，从而统一并加强了 \citet{DarlingandPardoux1997}、\citet{Briand2003}、\citet{LiFan2024SD} 和 \citet{Li2025} 等已有结果。为解决一般加权空间和极为宽泛的增长条件，本文提出了创新的方法。作为应用，我们在一些关于非线性项的一般假设下，证明了与此类 BSDE 相关的抛物面和椭圆 PDE 的粘性解的存在性，并通过带权 $L^p$ 解建立了在一般加权 $L^p$ 空间上定义的无界动态concave utility 的对偶表示。