带可能奇异势的黏性Cahn-Hilliard系统的可解性与滑模控制

在本文中，我们研究了一个黏性Cahn-Hilliard系统，其中化学势 $\mu$ 的表达式中存在一个额外的主导项。该项由 $L^2(\Omega)$ 中的次微分算子 $S$（其中 $\Omega$ 为演化发生的区域）作用于相变量 $\varphi$ 与给定状态 $\varphi^*$ 的差构成，$\varphi^*$ 是预先给定的，并可依赖于空间和时间。我们证明了在化学势 $\mu$ 的齐次Neumann和Dirichlet边界条件下存在性与连续依赖性结果。接下来，假设 $S=\rho\,$sign（即符号算子的倍数）且数据更光滑，我们首先给出正则性结果。然后，在 $\mu$ 的Dirichlet边界条件下，并对 $\rho$ 和 $\Omega$ 施加适当条件，我们还证明了滑模性质，即 $\varphi$ 被迫在某个早于给定最终时间 $T$ 的时间 $T^*$ 加入 $\varphi^*$ 的演化。我们指出，我们所有的结果对于一个作用于 $\varphi$ 的非常一般且可能奇异的多势阱势均成立。