极低正则性下半线性波动方程的解

本文求得了具有强异常奇性传播性质的半线性波动方程的解。对于极低的 Sobolev 正则性，我们得到了奇异支集沿光锥内或光锥外任意射线传播的的解。在一维中，这些解在空间上任意 Sobolev 指数 $s<\frac{1}{2}$ 时存在，而经典结果表明具有较高正则性的解的奇异支集包含在光锥中。这些异常解的空间傅里叶变换支撑在半直线上。当问题在没有支撑条件的 Sobolev 数据下是不适定的时，我们在此类函数空间中获得了适定性结果，并且在某些情况下获得了低于 $L^2(\mathbb{R})$ 的适定性。结果基于满足支撑条件的 Sobolev 空间的新乘子定理。给出了向更高空间维数的推广。