关于 Erdős 提出的具有有界码度的超图色指数问题的解

1977 年，Erdős 提出了以下问题：对任意整数 $t,n \in \mathbb{N}$，若 $G_1 , \dots , G_n$ 为完全图，每个 $G_i$ 至多 $n$ 个顶点且任意两者至多共享 $t$ 个顶点，则并集 $\bigcup_{i=1}^{n} G_i$ 可能的最大色数为多少？该问题的等价对偶表述问的是：一个最大度至多为 $n$、最大码度至多为 $t$ 的 $n$ 顶点超图的最大色指数为多少。对 $t = 1$ 的情形，Erdős、Faber 和 Lovász 著名地猜想答案为 $n$，作者最近对所有充分大的 $n$ 证明了该猜想。本文中，我们以强意义回答了 Erdős 关于 $t \geq 2$ 的这一问题，证明任意 $n$ 顶点超图若最大度至多为 $(1-o(1))tn$、最大码度至多为 $t$，则对任意 $t,n \in \mathbb{N}$ 其色指数至多为 $tn$。此外，等号成立当且仅当该超图为阶为 $k$ 的 $t$-重射影平面，其中 $n = k^2 + k + 1$。因此，对每个 $t \in \mathbb N$，该界对无穷多个整数 $n$ 是最优的。此结果对列表色指数亦成立。