中点映射与仿射曲率的孤立子

对于 $\mathbb{R}^n$ 中的多边形 $x=(x_j)_{j\in \mathbb{Z}}$，我们考虑中点多边形 $(M(x))_j=\left(x_j+x_{j+1}\right)/2\,.$ 若一多边形的中点多边形是该多边形在某个可逆仿射映射下的像，则称其为中点映射 $M$ 的孤立子。我们证明这类多边形中有很大一类位于仿射群作用于 $\mathbb{R}^n$ 的单参数子群的轨道上。这些光滑曲线也可刻画为微分方程 $\dot{c}(t)=Bc (t)+d$ 的解，其中 $B$ 为矩阵、$d$ 为向量。当 $n=2$ 时，这些曲线是广义仿射曲率 $k_{ga}=k_{ga}(B)$（依赖于 $B$）为常数的曲线，以广义仿射弧长为参数，除非它们是抛物线、椭圆或双曲线的参数化。