双线性 Schrödinger 方程与微分同构的小时间近似可控性

我们考察了以边界无黎曼流形 $M$ 为域的 Schrödinger PDE，采用双线性控制。我们提出了一种新方法来证明全局 $L^2$ 近似可控性。与先前方法不同，本方法可在任意小时间内实现，且无需谱本离散性。该方法的核心思想是分别控制波函数的径向部分和角向部分，借助控制群 ${\rm Diff}_c^0(M)$ 上微分同构的控制以及相位的控制——即对于任意初始状态 $\psi_0 \in L^2(M,\mathbb{C})$、微分同构 $P \in {\rm Diff}_c^0(M)$ 和相位 $\varphi \in L^2(M,\mathbb{R})$，可在 $L^2$ 范数下近似到达状态 $(\det DP)^{1/2}(\psi_0 \circ P)$ 和 $e^{i \varphi}\psi_0$。径向部分的控制利用了 Moser 所证明的 ${\rm Diff}_c^0(M)$ 在正密度上的作用的传递性。我们在 $\mathbb{T}^d$ 或 $\mathbb{R}^d$ 上的 Schrödinger 方程两个示例中发展了该方法，其中最近证明了相位的小时间控制。我们证明这一结果可通过 Lie bracket 技术推导出控制向量场流动的小时间控制。结合 Thurston 所证明的 ${\rm Diff}_c^0(M)$ 的简单性，我们获得了控制群 ${\rm Diff}_c^0(M)$。