无穷维一维双线性 Schrödinger 方程的投影同时全局精确能控性

本工作的目的是研究线段上无穷维双线性 Schrödinger 方程的能控性。我们考虑 Hilbert 空间 $L^2((0,1),\mathbb{C})$ 中对每个 $j\in\mathbb{N}^*$ 的方程 (BSE) $i\partial_t\psi^{j}=-\Delta\psi^j+u(t)B\psi^j$。Laplacian $-\Delta$ 配备 Dirichlet 齐次边界条件，$B$ 是有界对称算子，且 $u\in L^2((0,T),\mathbb{R})$，其中 $T>0$。我们证明了无穷维 (BSE) 的投影同时局部和全局精确能控性。局部能控性在任意正时间下均能得到保证，并且我们提供了使我们的理论成立的有效 $B$ 的显式示例。此外，我们证明了无穷维 (BSE) 在适当有限维空间上的投影能控性等价于有限个 (BSE) 的能控性（无需投影）。最后，我们用密度矩阵重新表述了我们的能控性结果。