一维双线性薛定谔方程的同时局部精确可控性

我们考虑处于无限深方势阱中并耦合到外部激光场的 $N$ 个独立量子粒子。这些粒子由有界区间上的线性薛定谔方程组建模。这是一个双线性控制系统，其中状态为波函数的 $N$ 元组，控制量为激光场的实振幅。对于 $N=1$，Beauchard 和 Laurent 证明了在任意时间内围绕基态的局部精确可控性。我们在额外的通用假设下证明，如果 $N$ 大于或等于 2，则他们的结果在小时间内不成立。尽管如此，对于 $N=2$，我们利用 Coron 回归方法证明了局部可控性要么在任意时间内成立（相差一个全局相位），要么精确成立（相差一个全局延迟）。我们还证明，对于 $N$ 大于或等于 3，即使相差一个全局相位，局部可控性在小时间内也不成立。最后，对于 $N=3$，我们证明了局部可控性在相差一个全局相位和一个全局延迟的情况下成立。