图结合多面体的小覆盖与循环的实现

一个有向连通闭流形 $M^n$ 被称为 URC-流形，如果对于任意同维数的有向连通闭流形 $N^n$，存在 $M^n$ 的有限重覆盖 $\widehat{M}^n$ 到 $N^n$ 的一个非零度映射。这一条件等价于：对于任意拓扑空间 $X$ 的任意 $n$ 维整同调类，它的一个倍数可实现为 $M^n$ 的有限重覆盖 $\widehat{M}^n$ 在连续映射 $f\colon \widehat{M}^n\to X$ 下基本类的像。2007年，作者给出了Thom经典结论的构造性证明，即任意整同调类的倍数可实现为一个有向光滑流形基本类的像。这一构造给出了所有维数的URC-流形的存在性。对于一类重要的流形，即对应于连通图的图结合多面体（graph-associahedra）的小覆盖，我们证明它们自身或其二重定向覆盖是URC-流形。特别地，我们得到通常Stasheff结合多面体的小覆盖的二重覆盖是一个URC-流形。在4维及更高维，该流形比所有先前已知的URC-流形都更简单。