慢速连分数、转换器与Serret定理
数论
2017-09-13 v2 动力系统
摘要
连分数初等理论的一个基本结论指出，两个实数在其连分数展开式中具有相同的尾部，当且仅当它们属于PGL(2,Z)射影作用下的同一轨道。这一结果最早在Serret的《高等代数教程》中提出，因此我们将其称为Serret定理。尽管文献中存在大量的连分数算法，但似乎缺少对Serret结果的统一处理。本文中，我们证明在一大类算法中，由高斯映射分支生成的PGL(2,Z)子群Sigma仅有有限多种可能性，并且每个实数的Sigma等价类被划分为有限多个尾部等价类，我们给出了其数量的上界。我们的方法是通过关联不同高斯映射的有限状态转换器。这些转换器构成了这些群的Schreier图上的opfibration，而它们的可同步性——可能成立也可能不成立——保证了Serret定理几乎处处成立。
引用
@article{arxiv.1706.00698,
title = {Slow continued fractions, transducers, and the Serret theorem},
author = {Giovanni Panti},
journal= {arXiv preprint arXiv:1706.00698},
year = {2017}
}
备注
20 pages. Introduction and Corollary 5.6 added. Example 2.12 and other minor points modified. To appear in the J. of Number Theory