Sklyanin 代数与三次单位根

我们考虑具有 3 个生成元的 Sklyanin 代数 $S$，它们是域 $\K$ 上的二次代数，具有 $3$ 个生成元 $x,y,z$，由 $3$ 个关系 $pxy+qyx+rzz=0$、$pyz+qzy+rxx=0$ 和 $pzx+qxz+ryy=0$ 给出，其中 $p,q,r\in\K$。这类代数备受关注。特别地，Artin、Tate 和 Van Den Berg \cite{ATV2} 借助代数几何工具表明，若参数 $p$、$q$ 和 $r$ 中至少有两个非零，且三个数 $p^3$、$q^3$ 和 $r^3$ 中至少有两个互异，则 $S$ 是 Artin--Schelter 正则的。更具体地，$S$ 是 Koszul 的，并且具有与 3 个不定元的交换多项式代数相同的 Hilbert 级数。人们普遍接受的观点是，不可能通过纯代数与组合手段（如 Gr"obner 基技术）实现同一目标。作者此前已破除这一看法。然而我们此前的证明并不比基于代数几何的证明更简单。它使用了在 $S$ 上某个合适单边模中 Gr"obner 基的构造，并且需考虑相当多情形。本文我们给出一个线性代换，此后便可确定 $S$ 自身关系理想的约化 Gr"obner 基的首单项式（无需过渡到模）。我们还显式地（以参数表示）弄清了哪些 Sklyanin 代数同构。这一新技术的唯一缺陷是，当基域的特征等于 3 时失效。