反对称矩阵及其主子式

设 $V$ 为一个非空有限集，$A=(a_{ij})_{i,j\in V}$ 为一个元素属于域 $\mathbb{K}$ 的矩阵。对于 $V$ 的子集 $X$，我们用 $A[X]$ 表示行和列索引均在 $X$ 中的 $A$ 的子矩阵。我们研究如下问题：给定正整数 $k$，两个元素属于 $\mathbb{K}$ 的矩阵 $A=(a_{ij})_{i,j\in V}$ 与 $B=(b_{ij})_{i,j\in V}$ 之间有何关系，使得对于 $V$ 中任何大小至多为 $k$ 的子集 $X$，均有 $\det(A\left[ X\right])=\det(B\left[ X\right])$？本文得到的定理改进了 R. Loewy [5] 关于所有非对角元均非零的反对称矩阵的结果。