偏斜RSK动力学：Greene不变量、仿射晶体及其在$q$-Whittaker多项式中的应用

迭代Sagan与Stanley在80年代末发现的偏斜RSK对应，我们在偏斜Young表对$(P,Q)$的空间上定义了一种确定性动力学。我们发现该偏斜RSK动力学展现出守恒律，在Viennot影线构造的图景中，这些守恒律辨识出Greene不变量的推广。引入一种新颖的$0$阶Kashiwara算符实现，揭示出偏斜RSK动力学具有由仿射双晶体结构诱导的对称性，结合Demazure晶体的连通性性质，可使其线性化。研究从偏斜表对$(P,Q)$出发的动力学的渐近演化，我们发现了一个新的双射$\Upsilon : (P,Q) \mapsto (V,W; \kappa, \nu)$。此处$(V,W)$是一对垂直严格表，即Young图的列严格填充且对行无限制，其形状由Greene不变量规定，$\kappa$是一个非负权重数组，$\nu$是一个划分。该构造的一个应用是首个涉及$q$-Whittaker多项式的Cauchy与Littlewood恒等式的双射证明。我们还给出了联系$q$-Whittaker与Schur多项式之和的新恒等式。