黏性哈密顿-雅可比方程在多时刻的奇性形成与正则化

超二次黏性哈密顿-雅可比方程（VHJ）的柯西-狄利克雷问题在随机控制理论中有重要应用，它承认唯一的整体黏性解。因此在有限时间出现奇性（通过边界上的梯度爆破（GBU）发生）之后，解以弱意义存在。尽管黏性解理论已被广泛研究并应用于许多偏微分方程，关于解精细行为的结果较少。特别是，VHJ 黏性解在 GBU 之后的详细行为大多悬而未决。此处，在一般维数下，对每个 $m\ge 1$，我们构造出至少经历 $m$ 次 GBU 与 LBC 然后恢复正则性的解，以及在第一爆破时刻出现无 LBC 的 GBU 的解。在一维情形，我们得到了各时刻黏性解的完整分类，并推广到高维径向情形。此外，对每个 $m\ge 2$ 及任意给定的、以任意次序在 $m$ 个时刻伴随/不伴随 LBC 的 GBU 类型组合，我们证明存在具有该确切 GBU 组合的解。某些解展现出一种称为“反弹”的新行为。具有多时刻奇性的 VHJ 整体弱解所展现的行为多样性大于 Fujita 方程。我们引入一种基于任意多个临界参数的方法，其连续性需要精细的论证。由于不像 Fujita 方程中那样依赖任何已知特解，我们的方法有望应用于其他方程。多时刻的奇异性行为在 VHJ 乃至随机控制理论中都是全新的。在此框架下，我们的结果意味着：对于某些空间分布的收益，若受控布朗粒子从边界附近出发，则净收益在不同时间尺度上达到盈利值，但在某些中间时刻则不然。