临界二维随机热流的奇异性与正则性

临界二维随机热流（Critical 2D Stochastic Heat Flow，简称 SHF）是二维随机热方程（2D Stochastic Heat Equation）中一种自然的候选解。该方程具有乘性时空白噪声，属于难以规约的范畴内。本文首次探讨了 SHF 的空间性质。我们证明了作为 $\mathbb{R}^2$ 上的随机测度，SHF 几乎必然相对于 Lebesgue 测度是奇异的。这一结果通过探测“准临界”范畴并表明在无序强度以合适速率趋于零时，所分配给消失球的质量呈对数正态分布，从而获得。此外，针对临界二维有向聚合物，我们也得到了类似结果。我们还描述了 SHF 的正则性，表明其几乎必然为 $C^{-\epsilon}$ Hölder 连续，对任意 $\epsilon>0$，这意味着不存在原子，且在长时间极限下局部收敛于零。